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EL QUINTO POSTULADO DE EUCLIDES, EL MÈTODO EN LA MATEMÀTICA Y UNA GEOMETRIA PARA EL ESPACIO DEL UNIVERSO.


Por: Carlos A. Ortiz G.

Matemático, U. Nal de Col.

M. Sc. En Matemática, U. Nal de Col.

Profesor Universidad de los Llanos.



En esta exposición pretendo presentar un resumen, muy breve, relacionado con el contenido que sugieren las temáticas del título, las cuales mantienen una particularidad especial: están íntimamente relacionadas conceptualmente; y con él, resaltar algunas de las principales características de la Matemática: cómo se trabaja en ella, cómo se reproduce el conocimiento, cuál es el significado de la verdad en la Matemática, cómo opera internamente y cómo opera en la naturaleza.


El método en la Matemática, conocido como método axiomático ( o deductivo), se refiere a un ordenamiento o sistematización de una teoría, y aún, de los conceptos, proposiciones y definiciones en la teoría misma, pero, por sobre todo, nos muestra cómo se trabaja en las teorías existentes y cómo se puede producir nuevas teorías. Así, una teoría axiomática comienza y consiste de un número finito de afirmaciones, consideradas como proposiciones verdaderas (o válidas), sin demostración, las cuales se definen como axiomas ( en la época de Euclides se llamaban postulados), y un conjunto de conceptos generales y definiciones o principios. Oportuno es aquí, señalar que en Matemática se trabaja con proposiciones que son, únicamente, verdaderas o falsas. Pero esto no es todo, a continuación se encontrará básicamente, definiciones, las cuales son descripciones particulares relacionadas con los objetos con los cuales trabaja la teoría (por ejemplo, triángulos, circunferencias, rectángulos en la Geometria de Euclides), y teoremas y demostraciones. Los teoremas son verdades que se pueden demostrar. Toda propiedad o proposición que se pueda demostrar, es un auténtico teorema .


De esta manera, en el seno o contexto de una teoría axiomática, la veracidad de una proposición o teorema, exceptuando los llamados axiomas (o postulados), se supedita al convencimiento de la validez de la correspondiente demostración. En realidad, en éste punto, la Matemática se apoya en los principios de la Lógica proposicional o Lógica Matemática, la cual basándose en las llamadas leyes del pensamiento, otras herramientas y métodos de demostración, permite establecer inferencias y conclusiones, y así, finalmente concluir con la demostración del teorema.


El primer ejemplo de Sistema Axiomático-deductivo en la historia de la matemática, presentado formalmente, se debe a un personaje de la Grecia clásica, de nombre Euclides de Alejandría (304 – 285 a. C), quien, según el historiador Proclo ( del siglo V. después de Cristo), éste fue un sabio alejandrino que floreció hacia el año 300 a. C, que publicó numerosas obras científicas, destacándose, de entre ellas, los célebres “ELEMENTOS”, cuya importancia científica y didáctica es indudable, siendo considerada la obra más leída en todos los tiempos, rivalizando, en este sentido, con LA BIBLIA, y, desde luego, con cualquier otra obra de la literatura universal: la “ Divina comedia”, o el “Quijote de la mancha”.


Proclo tuvo que usar artificiosos argumentos para situar a Euclides en el reinado de Ptolomeo I de Egipto. Afirma Proclo que Euclides es anterior a Arquímedes (287 – 212 a. C), puesto que en éste aparecen citas de aquel, pero posterior a Eudoxo de Cnido ( 355 a. C ) y a Theeteto ( 369 a. C), cuyos trabajos fueron incorporados en los “Elementos”. Como existe una anécdota que relaciona a Euclides con cierto rey Ptolomeo, Proclo concluye que éste rey debe ser Ptolomeo I. Cuenta dicha anécdota que el rey, después de hojear los “Elementos”, lleno de esperanza, preguntó a Euclides, si no habría un camino más corto para llegar a la Geometría. Contestó severamente Euclides: “ en la Geometría no hay caminos especiales para reyes”. Esta misma anécdota, poco más o menos, la narra también Stobeo, pero la atribuye a Alejandro Magno y al matemático Menecmo (350 a. C ). Stobeo nos cuenta que un alumno de Euclides, que había comenzado a estudiar Geometría, tan pronto como terminó el primer teorema, preguntó a su maestro: “y, ¿qué ganaré con esto”; Euclides llamó inmediatamente a un esclavo y le dijo : “Entrégale tres monedas a éste, porque él necesita obtener una ganancia de todo lo que aprende”. Todo lo que sabemos de Euclides son estas anécdotas de dudosa autenticidad.


Los “Elementos” no contienen toda la Geometría griega, ni es un resumen de toda ella; sin duda, contiene una gran parte de la Matemática que los griegos anteriores a Euclides y el propio Euclides elaboraron, pero esa parte no fue tomada al azar, sino seleccionada de acuerdo con criterios muy precisos y objetivos, los cuales tuvieron que ver, muy seguramente, con su contenido y orientación. Su contenido proviene de los pitagóricos, de Eudoxo de Cnido, de Hipócrates ( 430 a.C ), de Demócrito ( 460.C ) y de Tales de Mileto ( 625 a,C ); en cuanto a su orientación influyeron, especialmente, Platón ( 414 a. C ) y Aristóteles. Del platonismo, del cual era Euclides simpatizante, tomó la independencia de la ciencia de toda finalidad práctica, y, por tanto, la abstracción y la primacía del conocer sobre el hacer ; de Aristóteles tomó las bases del método deductivo ( o axiomático ): la separación o distinción entre postulados, teoremas, principios y definiciones.


La obra los “Elementos” consta de trece libros, en las cuales Euclides reunió gran parte de los conocimientos matemáticos acumulados hasta sus días, con algunas excepciones tales como las Secciones cónicas, la geometría esférica y probablemente algunos descubrimientos propios. Los seis primeros libros tratan sobre geometría plana, y es aquí donde presenta su Método o Sistema Axiomático - deductivo.


Su primer libro contiene una serie de definiciones para punto, línea recta, ángulo, rectas paralelas, etc. Por ejemplo, dice: “Punto es lo que no tiene partes”; “línea es una longitud sin anchura”, etc. Es fácil deducir la falta de estricto rigor en la Geometría de Euclides, pero, aún así, de manera esencial, esto no atenta contra la validéz de la teoría en sí, y no le resta importancia, considerando la época en que se escribió, hace más de 22 siglos, y el hecho de que hasta la presente ha sido el modelo a seguir de la Matemática.


Agrega Euclides, a las anteriores definiciones cinco conceptos generales, de entre las cuales, por ejemplo, la primera y la quinta expresan: “Las cosas que son iguales a una misma cosa, son también iguales unas a otras”; “El todo es mayor que la parte”.


En seguida establece cinco postulados (hoy conocidos como axiomas):

  1. Dado cualquier punto a cualquier otro, se puede trazar una recta.
  2. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección.
  3. Con cualquier centro y cualquier radio, se puede trazar una circunferencia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Si una recta, al cortar a otras dos forma, de un mismo lado, ángulos internos menores que suman menos de dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos cuya suma es menor que dos rectos.

El libro II trata de la transformación de áreas y el álgebra geométrica griega de la Escuela pitagórica. En este libro se encuentran los equivalentes geométricos de varias identidades algebraicas. Al final de libro hay dos proposiciones que establecen la generalización del teorema de Pitágoras, el cual conocemos hoy como Ley del coseno.


El libro III contiene aquellos teoremas familiares respecto a circunferencias, cuerdas, tangentes y medición de ángulos de geometría básica.


En el libro IV se encuentran las exposiciones de las construcciones pitagóricas, con regla y compás de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados.


El libro V presenta una exposición general de la teoría de la proporción como la originó Eudoxo. Esta teoría, aplicable a magnitudes incomensurables y comensurables ( hoy se dice números irracionales y racionales ), fue la que resolvió un “escándalo lógico” creado por el descubrimiento pitagórico de los números irracionales y protagonizado, y difundido por Zenón de Elea .


El libro VI aplica la teoría eudoxiana de la proporción a la geometría plana. Aquí encontramos los teoremas fundamentales de triángulos semejantes y construcciones que dan la tercera, cuarta y media proporcional. También encontramos aquí, una solución geométrica a las ecuaciones cuadráticas . Probablemente no hay teorema, en este libro, que no haya sido conocido por los antiguos pitagóricos, pero las demostraciones pre-eudoxianas de muchos de ellos fueron defectuosas, puesto que se basaban en una teoría incompleta de la proporción.


Los libros VII , VIII y IX, contienen un total de 102 proposiciones y tratan de la teoría elemental de los números, de la descomposición en factores primos, y de las progresiones geométricas, cerrándose el libro IX con una hermosa proposición de sabor pitagórico relacionada con números perfectos pares.


El libro X trata de irracionales, esto se refiere a longitudes de segmentos, como √2, raíz cuadrada de 2, número que no se puede representar como el cociente de dos números enteros, m/n, es decir, no son números racionales. Muchos opinan que este libro es el más admirable de los “Elementos”. Gran parte del contenido de éste libro, se cree es inspiración de Theeteto, pero incompleto. Lo completó y lo refinó, Euclides.


Los tres libros restantes, XI, XII y XIII, tratan de la geometría sólida o del espacio . El libro XI trata, particularmente, sobre teoremas relativos a paralelepípedos; en el libro XII, encontramos los volúmenes, calculados con el método de exhaustivo de Eudoxo; el libro XIII, trata sobre las construcciones de los cinco poliedros regulares.


Tal es, a grandes rasgos, el contenido de la magna obra de Euclides. Por grande que haya sido el aporte de los matemáticos anteriores, queda siempre para Euclides el mérito de haber aplicado, por primera vez, un método que resultó fructífero para la Matemática y para la Ciencia, en general, y el de haber estructurado sistemáticamente, con ese método, en forma ordenada una gran cantidad de conocimientos matemáticos, en especial, de geometría plana. Además, en los “Elementos”, Euclides acentúa una nota característica y permanente de la Matemática: su carácter abstracto y su absoluta independencia de toda aplicación práctica o concreta. En los “Elementos” no figura ninguna aplicación concreta, ni un ejemplo numérico. Todo su interés y su finalidad residen en el conocimiento mismo.


Entre los restantes postulados o axiomas de la geometría de Euclides, el V ocupaba un lugar muy especial, probablemente, dada la incertidumbre en su comprobación experimental, o por su falta de abreviación en su formulación, o, probablemente, porque se sospechaba que no era un postulado sino un teorema, lo cual implicaba que, en tal caso, podría demostrarse, con base en los cuatro postulados restantes.


Así, el V postulado de Euclides se convirtió en objeto de comentarios y críticas en los trabajos de muchos geómetras desde los tiempos antiguos. El objetivo principal de estas investigaciones fue suprimir este V postulado y deducirlo como teorema. ¡El problema era demostrarlo!.


La tarea atrajo a mucho geómetras: al griego Proclo (S. V d. C), quien fue el primero en considerar seriamente el problema; al persa Nasir Ed Din Et Tusi ( S. XIII d, C); al inglés J. Wallis ( 1.616 – 1.703 ); al italiano Sacheri (1.667-1.733 ); al filósofo y matemático Lambert (1.728-1.777); al francés Legendre (1.752-1.833 ), y muchos otros: durante los dos milenios largos, desde la aparición de los ELEMENTOS de Euclides, todos estos matemáticos aportaron sus mejores argumentos geométricos, pero el resultado de estos intentos fueron infructuosos.


Una y otra vez se demostró que el autor de turno se había apoyado en alguna proposición considerada como obvia, que no se deducía necesariamente ni de los otros cuatro postulados, ni de teoremas demostrados con base a estos mismo cuatro postulados o axiomas. Es decir, eran proposiciones equivalentes al V postulado. Esto significaba que pretendían demostrar el V postulado utilizando el mismo V postulado. (Dos proposiciones p, q son equivalentes si se cumple p → q, y q → p).


Por ejemplo, Proclo se apoyó en la proposición : “ Una recta paralela a una dada, dista de ella una longitud constante”. Sacheri: “Existe al menos un rectángulo, esto es, un cuadrilátero cuyos ángulos son rectos”. Legendre: “Una recta perpendicular al lado de un ángulo agudo, también corta al otro lado”. Gauss: “Existen triángulo de área arbitrariamente grande “. Todas y cada una de estas proposiciones son equivalentes al V postulado de Euclides, y, de hecho, son equivalentes entre sí.


La proposición equivalente al V postulado de Euclides, más difundid a, se debe al matemático escocés John Playfair (1.748 . 1,819), quien la expuso en 1.795, y, a su vez, es la que se conoce comúnmente como el V postulado de Euclides: “En el plano, por un punto exterior a una recta dada, pasa una y sólo una paralela a la recta dada”.


Después de Proclo, el siguiente paso importante lo realizaron los matemáticos Girolamo Sacheri (matemático jesuita), en su obra “Euclides ab omni naevo vindicatus”, “Euclides liberado de toda culpa” ; Johan H. Lambert, en su obra “Die teorie der parallellinien“, “Sobre la teoría de las paralelas “; y Adrien M. Legendre, en su obra “Elementos de geometría“. La diferencia de estos intentos por demostrar el V postulado, con relación a sus predecesores, radicó en que éstos aplicaron lo que en Matemática se conoce como método de demostración por contradicción o por el absurdo. Este método hace uso del siguiente principio: “a partir de una verdad, mediante razonamientos correctos, nunca se llega a una falsedad o contradicción“. Una contradicción ocurre cuando se tiene una proposición de la forma “p y no p”, siendo p una proposición cualquiera. Lo desafortunado fue que no lo aplicaron de manera correcta.


Considerando como la proposición “p“, la versión del V postulado de John Playfair: “En el plano, por un punto exterior a una recta dada, pasa una y sólo una paralela a la recta dada“, partieron de la negación de este postulado, es decir, partieron de “ no p“: “En el plano, por un punto exterior a una recta dada pasan, por lo menos, dos rectas paralelas a la recta dada“. Asi, Sacheri, Lambert y Legendre, razonando de manera correcta, encontraron algunos resultados “sorprendentes”, como por ejemplo: “ la distancia entre dos rectas paralelas no es constante “, o bien “ la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180 grados “, los cuales los consideraron absurdos o contradictorios, lo que permitía, según ellos, concluir que es falso “no P“, esto es, es verdadero “p”. Conclusión, según ellos, ¡el V postulado de Euclides está demostrado!.


Pero esta conclusión era, y es, FALSA. El error, o equivocación en el razonamiento , radicó en considerar los mencionados resultados encontrados como absurdos o contradictorios. De hecho, estos resultados se pueden considerar, simplemente, como proposiciones no - euclidianas, y no debían representar ninguna sorpresa o contradicción, ya que la negación misma del V postulado, a partir de la cual se razonó, es , por sí misma , no - euclidiana. As´ , era obvio que la negación del V postulado produjera resultados o proposiciones extrañas o aparentemente contradictorias, con referencia a la geometría de Euclides, ya que su negación es, por si misma, extraña o contradictoria. Estos resultados, simplemente, eran equivalentes a la negación del V postulado.


Así, a principios del S. XIX el problema se encontraba en la misma situación que en la época de Euclides. Los esfuerzos resultaron vanos y el problema parecía que no iba a ceder nunca. Sin embargo, los matemáticos empezaron a sospechar de que el problema no tenía solución. Esto es, que era imposible probar el V postulado a partir de los otro cuatro restantes de la geometría Euclidiana. En otras palabras: el V postulado es independiente de los otro cuatro.


De entre estos matemáticos que atacaron el problema con esta nueva visión, se destaca a Janos Bolyai (1802-1866), húngaro, oficial del ejército e hijo del matemático Farkas Bolyai ( ), amigo de Karl Friederich Gauss ( 1777 – 1855), matemático alemán con quien mantenía correspondencia. El 3 de Noviembre de 1823 , Janos Bolyai envió una carta a su padre en la que escribió: “He llegado a realizar algo tan asombroso que yo mismo me hallo terriblemente azorado. Si echaras una mirada a mi trabajo verías que no exagero. Puedo asegurarte que he creado un mundo nuevo…“.


Cuando Bolyai padre conoció y valoró el trabajo y la importancia del trabajo de su hijo no tardó mucho en enviar una copia a Gauss, con la esperanza de que éste concediera un importante aval al trabajo de Janos y así su hijo obtuviese un merecido reconocimiento en el mundo matemático.

Sin embargo la respuesta de Gauss fue cien por ciento decepcionante : “elogiar la obra de tu hijo es elogiarme a mí mismo, pues coincide casis exactamente con los trabajos que he ido desarrollando en los últimos 30 años. Mi intención era no publicar estos trabajos durante mi vida”. Por esta razón Bolyai hijo abandonó su investigación, y con ello su euforia, y su trabajo no fue publicado sino hasta 1.832.


Janos Bolyai partió de la hipótesis de que el V postulado era independiente de los otros cuatro y, por tanto, si se sustituía por otro no equivalente podía construirse una nueva geometría tan correcta ( es decir, sin contradicciones ) como la geometría euclidiana. La negación de este postulado de Bolyai fue: “Desde un punto exterior a una recta dada puede trazarse infinitas rectas paralelas a la recta dada“.


¿y por qué gauss, el gran matemático callaba su descubrimiento ? . Pues, aunque parezca mentira, por miedo. Según cuenta una carta enviada a bessel ( ), el 27 de enero de 1829, silenció sus investigaciones porque temía “el griterío de los beocios”, refiriéndose a los filósofos kantianos que consideraban la geometría euclídea consustancial con la naturaleza.


La solución definitiva fue dada por primera vez, por Nicolai Ivanovich Lovachevski (1.793 – 1.856), joven profesor de la Universidad de Kazan. El 23 de Febrero de 1826 leyó una memoria sobre la teoría de las paralelas, en una sesión de la facultad de Matemática y Física, y en 1829 publicó su contenido en la revista de la misma universidad.


La esencia de la solución de Lovachevski al problema del V postulado la expresó él mismo en su trabajo elementos de geometría” (1835), en los siguientes términos:


“Es bien sabido que, en Geometría, la teoría de las rectas paralelas ha permanecido hasta ahora incompleta. Los inútiles esfuerzos realizados desde los tiempos de Euclides, a lo largo de 2.000 años, me han inducido a sospechar que los conceptos no contienen la verdad que queríamos probar, sino que, al igual que otras leyes físicas, solamente pueden ser verificados mediante experimentos, tales como observaciones astronómicas. Convencido por fin de la verdad de mi conjetura y considerando que este difícil problema está completamente resuelto, expuse mis argumentos en 1.826 “.


Lobachevski tomó como hipótesis la negación del V postulado: “Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar, por lo menos, dos rectas paralelas a la dada”.


A partir de esta hipótesis, junto con los restantes cuatro axiomas de Euclides, Lovachevski, desarrolló una cadena de conclusiones, es decir, teoremas, que no tenían contradicción alguna, como, por ejemplo:

  1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados.
  2. Dos rectas paralelas no mantienen la misma distancia.

Estas conclusiones o teoremas, pensaba Lovachevski, forman, por derecho propio, una teoría no contradictoria, lógicamente posible, que puede considerarse como una nueva geometría, no euclidiana. Lobachevski, prudentemente la llamó “Geometría imaginaria”, ya que no encontró, en su momento, un modelo real para ella. Pero vio claramente su posibilidad lógica. Y al expresar y defender su fuerte convicción, Lovachevski exibió la verdadera grandeza de un genio que defiende su convicción, sin vacilaciones, y no la ocultó de la opinión pública por miedo a la incomprensión y a la crítica. De esta manera, fue así como, definitivamente y después de 20 siglos, desde la aparición de los “Elementos”, quedó resuelto el famoso problema geométrico de Euclides: El V postulado de su geometría no es posible demostrarlo, es independiente de los otros cuatro axiomas o postulados, es también un postulado creando de paso, como consecuencia de esta solución, una nueva geometría que, hoy conocemos como GEOMETRIA NO EUCLIDIANA DE LOBACHEVSKI (también conocida como geometría hiperbólica).


En 1.870 el matemático alemán Felix Klein (1.849 – 1.925) dio una interpretación real de la geometría de Lobachevski. Klein consideró un círculo euclídeo, excluyendo los puntos de la correspondiente circunferencia, y estableció las siguientes definiciones:

  1. Punto: es un punto del interior del círculo.
  2. Recta: es cualquier cuerda del círculo, excluidos sus extremos sobre la circunferencia.
  3. Rectas paralelas: son cuerdas del círculo con un mismo extremo común.
  4. Rectas secantes: las que se cortan en el interior del círculo.
  5. Rectas no secantes: las que se cortan en el exterior del círculo.
  6. Distancia entre los puntos P, Q: logaritmo natural de { [d (A,Q )x d (B,P) ] / [d (A, P) x d (B,Q]}, donde d es la distancia euclidiana, y A y B son los puntos de la circunferencia, cuyo segmento de recta que los une pasa por los puntos P y Q.


Klein demostró que la geometría así construida sobre el círculo se corresponde con la geometría hiperbólica no – euclidiana de Lobachevski .


Conocemos entonces dos geometrías : la geometría de Euclides y la geometría no euclidiana de Lobachevski (o hiperbólica). Hay, sin embargo otra geometría no euclidiana, conocida como geometría elíptica o geometría no euclidiana de B. Riemann (1,826 – 1.866). Los axiomas de esta geometría son, igualmente que la geometría de Lobachevski, los cuatro primeros axiomas de la geometría de Euclides, más un quinto, que es otra versión de la negación del V de Euclides: “Por un punto exterior a una recta dada, no pasa ninguna recta paralela a la recta dada”.


Riemann estudió en la universidad de Gotinga donde fue alumno de Gauss, y posteriormente lo fue de Jacobi y Dirichlet en Berlin. Para obtener su título de privatdozent presentó, el 10 de junio de 1.854, su “Ueber die hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”, y no fue publicada sino hasta 1.868. Riemann profundizó y generalizó, mucho más lejos el estudio de las geometrías que sus antecesores Euclides y Lobachevski. Gran parte de estos estudios los presentó en esta obra.


Un modelo de esta geometría de B. Riemann se consigue considerando una esfera y definiendo los siguientes términos:


- Plano : superficie esférica.
- Punto : par de puntos diametralmente opuestos en la esfera.
- Recta : círculo máximo sobre la esfera, es decir, línea geodésica.


Dos teoremas : 1. Dos rectas siempre tienen un punto en común , 2. La suma de los ángulos internos de todo triángulo es mayor que 180 grados.


Desde comienzo del siglo XIX, con el surgimiento de las geometrías no-euclìdeas, se consolidó, una tendencia muy notable y curiosa, relacionada con la aplicación o aplicaciones de la Matemática en la búsqueda de soluciones de problemas de las ciencias como, por ejemplo, en la Física, en la Biología, en química e ingenierías.


En la actualidad, en Matemática, una Teoría Axiomática tiene razón de ser, en forma independiente de sus aplicaciones (usted puede crear su propia Teoría, siempre y cuando cumpla con todas sus exigencias y sea lógicamente sustentable). Lo único que usted necesita es papel y lápiz. Desde luego que las geometrías no – euclídeas, como lo han sido, por ejemplo, la Teorìa de Grupo y, aún la Teorìa de Variable Compleja, entre otras, son ejemplos típicos de esta mencionada tendencia.


Lo curioso y lo notable es que estas teorías, producto exclusivo del pensamiento humano, tarde que temprano, han resultado ser efectivas y excelentes herramientas para solucionar o explicar problemas o teorías de la física o, en general, de la vida real: “¿ Cómo puede ser que las matemáticas, siendo ante todo producto del pensamiento humano, el cual es independiente de la experiencia, sean apropiadas para explicar la realidad ? “. ( Albert Einstein 1879 – 1955 ).


Esta interacción entre una teoría abstracta, como lo puede ser, una teoría axiomática de la Matemática, y la realidad ( o verdad ) física, es muy, pero muy sorprendente, y ha sido objeto de investigaciones por estudiosos matemáticos, científicos y filósofos. “Que existe una relación íntima entre los fenómenos experimentales y las estructuras matemáticas parece confirmarse plenamente de la forma más inesperada mediante los descubrimientos más recientes de la física contemporánea. Pero no sabemos absolutamente nada sobre los fundamentos de este hecho (suponiendo que se pudiera encontrar realmente significado a esta palabras ) y tal vez no lleguemos a saber nunca sobre ello“. (N. Bourbaki, L` Architecture des Mathematiques, 1.948). .. Probablemente, Albert Einstein, en su citada célebre frase, hizo alusión al convencimiento de que la Geometría no-euclídea, la elíptica de B. Riemann, se ajustaba perfectamente a su famosa “ Teoria de la relatividad especial “, presentada en 1.905, y luego su “ teoría general de la relatividad“, en 1915. La geometría euclidiana es totalmente válida en un espacio doméstico, con medidas a escala terrestre, pero a escala o distancias astronómicas, por ejemplo, ya deja de ser válida.


De otro lado, según Einstein, el Universo no es un espacio plano, es curvo. Las líneas rectas en este espacio, las cuales son líneas rectas de un espacio geométrico de B. Riemann, no tienen la misma configuración o presentación visual que las líneas rectas euclidianas, las cuales nosotros las tenemos sumamente arraigadas en nuestra memoria . Recuerde que un modelo de geometría elíptica o de Riemann, en abstracto, es una superficie esférica, como, por ejemplo, la de la tierra; y en este caso, una recta es un círculo máximo.


Así, las ideas básicas que llevaron a la noción de que el espacio físico es curvo y por tanto no euclídeo se debe a los muchos intentos, durante más de 22 siglos, para probar si el quinto postulado de Euclides podía demostrarse a partir de los restantes cuatro axiomas de la geometría de Euclides.


Durante todo el siglo XIX, la Teoría de espacios curvos fue considerada una abstracción matemática que nada tenía que ver con la geometría del universo real, según A. Einstein. No fue sino hasta después de que él desarrollara la Teoría de la relatividad especial, y posteriormente la general, que las geometrías no-euclidianas se hicieron presentes fuera de las matemáticas.


Ahora bien, debemos conocer que esta geometría elíptica de Riemann, maneja cuatro dimensiones las cuales se corresponden a las cuatro dimensiones del espacio universal : las tres del espacio 3-D y la cuarta, la dimensión del tiempo. Según Einstein, el movimiento de un cuerpo no está determinado por fuerzas, sino por la configuración del espacio-tiempo. La fuerza gravitacional de Newton, no existe ; lo que existe, según Einstein, es un efecto o consecuencia de la geometría curva del espacio-tiempo.


Por ejemplo, para Newton, la tierra gira alrededor del Sol porque éste ejerce una fuerza gravitacional sobre nuestro planeta. Para Einstein, es una perturbación del espacio-tiempo introducida por la masa de Sol, lo que causa el movimiento de la tierra.


Así, la relatividad general abandona el concepto de fuerza y lo reemplaza por el concepto de curvatura del espacio-tiempo. Los cuerpos celestes adoptan trayectorias lo más derechas posibles, pero deben someterse a la configuración del espacio-tiempo. Lejos de toda distribución de materia, la curvatura del espacio-tiempo es nula y todas las trayectorias son líneas rectas (euclidianas).


Cerca de un cuerpo masivo como el Sol, el espacio-tiempo se deforma y los cuerpos se desplazan en líneas curvas. La visión del mundo de Einstein es pues muy diferente de la propuesta por Isaac Newton. Sin embargo la mayoría de las veces, las dos teorías dan resultados prácticamente idénticos. Las divergencias sólo aparecen en condiciones extremas, sea por cuerpos desplazándose a una velocidad próxima a la de la luz, sea por cuerpos masivos, como el sol o las estrellas, que generan grandes perturbaciones o efectos, sobre los cuerpos próximos a èl. (Crèdito :http: ciencia1.nasa.gov/science-at-nasa/2005/16nov_gpv.


El ejemplo de las geometrías no-euclìdeas y la forma del universo no es solo un ejemplo importante en la historia de la Matemàtica. Es el ejemplo que abrió la discusión sobre el significado de la verdad en las matemáticas, y sobre el papel que éstas desempeñan en la descripción del Universo físico .


No hay verdad absoluta. Ni siquiera las verdades matemáticas. Y si las hay, serían los axiomas o postulados en una teoría axiomática cualquiera, por cuanto la formulación, de cualquiera de ellos, es relativamente convencional y relativamente arbitrario, pero se decretan verdaderos, sin ninguna exigencia demostrativo o probatoria. En cuanto a los teoremas que son verdades que se pueden demostrar, estos se deben ubicar en un segundo plano que va más allá de los o axiomas ; y en este segundo plano, deberíamos preguntarnos ¿ Porqué aceptar como válida la argumentación demostrativa de un teorema, así sea que esta argumentación cumpla con todos los estándares propios de la Lógica, exigidos por la Matemática misma ?.De todos modos, cualquiera sea la respuesta a la pregunta anterior, aceptada la verdad del teorema, en el interior de la Teoría axiomática, queda por conocer la veracidad de éste, fuera de ella.


Se ha dicho que los axiomas pueden ser “relativamente convencionales” y, sobre todo, “relativamente arbitrarios “, y, usted señor lector, debe sentirse un poco confundido al conocer estos adjetivos para un axioma. Tiene razón. Pero ¿acaso no son convencionales y , un tanto, arbitrarios, el V Postulado de las geometrías de Lobachevski y de B. Riemann, los cuales son dos negaciones del V Postulado de Euclides ?. Para mí, las respuesta a esta pregunta es una afirmación, aunque, en seguida, se debe establecer claramente dos distinciones : la primera es que, siendo aceptado, a partir de mediados del siglo XIX , que la Matemática no es una ciencia natural, sino una creación intelectual del hombre, cualquier teoría axiomática, lógicamente sustentable, será válida para la Matemática, aunque los axiomas no represente o permitan describir o explicar, en su momento, alguna realidad física o natural. Desde luego que se exageraría, en este sentido, si se pretende que, aún cumpliendo con todos los requisitos, cualquier teoría axiomática, con proposiciones alocadas o disparatadas, sustitutas de sus axiomas, llegue a interpretar, representar o explicar matemáticamente algún fenómeno natural o físico.


La segunda distinción corresponde a la veracidad de los teoremas por fuera de su teoría axiomática. No es difícil deducir que esta veracidad o realidad, está supeditada a la veracidad científica de los axiomas. Si los axiomas son válidos, en términos de la realidad científica, entonces los teoremas también serán válidos en esos mismos términos. Así ha ocurrido siempre, según la historia. Los teoremas nunca han fallado en este sentido.


“ No deberíamos preguntarnos qué es la realidad sino meramente cómo se comporta. Los físicos modernos describen las cosas invariablemente en términos de modelos matemáticos. Es como si trataran de encontrar la realidad dentro del mundo platónico de las ideas matemáticas. Pero ¿son las nociones matemáticas cosas que habitan realmente en un “mundo” propio ?. Si es así, parece que hemos encontrado que nuestra realidad última tiene su hogar dentro de este mundo completamente abstracto. Me resisto a identificar la realidad física dentro de la realidad abstracta del mundo de Platón”. “Penrose, matemático y físico inglés (1.931 -)”.


REFERENCIAS.


- Popayan, Querubin y Prieto Alfredo. Los orígenes de la geometrías no– euclídeas. Monografia. Licenciatura de Matemática y Física. Universidad de los Llanos. Villavicencio.

- Boyer, Karl. Historia de la Matemática. Editorial Alianza. 1.990. Madrid.

- Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentie y otros. La Matemática, métodos, contenido y significado. Editorial Alianza.

- Sigma el mundo de las matemáticas.

- Internet y otros.







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